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如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.
分析:根据条件中的长方体建立空间直角坐标系,写出点的坐标,再求得向量
PQ
RS
的坐标,利用向量平行的条件得出
PQ
RS
,从而得出PQ∥RS.
解答:证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),
A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),
∵AP=2PA1,∴
AP
=2
PA1
=
2
3
AA1

AP
=
2
3
(0,0,2)=(0,0,
4
3
),∴P(3,0,
4
3

同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,
2
3
),
PQ
=(-3,2,
2
3
)=
RS

PQ
RS

∵R∉PQ,
∴PQ∥RS
点评:本题考查向量语言表述线线的垂直、平行关系.根据空间直角坐标系写出点的坐标的问题,这种问题是为解决空间向量与立体几何做准备,是一个基础题,注意数字运算不要出错.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:设计选修数学2-1苏教版 苏教版 题型:047

如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点P在棱AA1上,且|AP|=2|PA1|,点S在棱BB1上,且|SB1|=2|BS|,点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点.

求证:PQ∥RS.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQRS.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在长方体OAEBO1A1E1B1中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点P在棱AA1上,且|AP|=2|PA1|,点S在棱BB1上,且|SB1|=2|BS|,点Q、R分别是棱O1B1AE的中点.

求证:PQ∥RS.

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科目:高中数学 来源:《3.2 立体几何中的向量方法》2013年同步练习1(解析版) 题型:解答题

如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.

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