Question

已知椭圆C：x²+2y²=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,两点间的距离公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）椭圆C：x²+2y²=4化为标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：x²+2y²=4化为标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，
∴a=2，b=

2

，c=

2

，
∴椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，则
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，
∴tx₀+2y₀=0，∴t=-

2y0

x0

，
∵x02+2y02=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²=x₀²+y₀²+

4y02

x02

+4=x₀²+

4-x02

2

+

2(4-x02)

x02

+4=

x02

2

+

8

x02

+4（0＜x₀²≤4），
因为

x02

2

+

8

x02

≥4（0＜x₀²≤4），当且仅当

x02

2

=

8

x02

，即x₀²=4时等号成立，所以|AB|²≥8．
∴线段AB长度的最小值为2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．