Question

20．已知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x²+mx+1＞0．如果任意的x∈R，r与s有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：则?x∈R，m＜$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），可得m＜-$\sqrt{2}$．若命题q是真命题：则?x∈R，△＜0，解得m．如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．即可得出．

解答 解：若命题p是真命题：则?x∈R，m＜$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），可得m＜-$\sqrt{2}$，
若命题q是真命题：则?x∈R，x²+mx+1＞0．△=m²-4＜0，解得-2＜m＜2．
如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}m＜-\sqrt{2}\\ m≤-2，或m≥2\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}m≥-\sqrt{2}\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，
解得m≤-2或-$\sqrt{2}$≤m＜2．
则实数m的取值范围是m≤-2或-$\sqrt{2}$≤m＜2．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、三角函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，难度中档．