Question

9．给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1，②函数y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）是偶函数；③直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴；④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 求出sinαcosα取值的范围，可判断①；根据诱导公式化简函数解析式，进而根据余弦型函数的和性质，可判断②；根据正弦型函数的对称性，可判断③；举出反例α=390°、β=45°，可判断④．

解答 解：①sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，1∉[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故不存在实数α，使sinαcosα=1，故①错误；
②函数y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）=-cosx，满足f（-x）=f（x），是偶函数，故②正确；
③由2x+$\frac{5π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得：x=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，当k=1时，直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴，故③正确；
④α=390°、β=45°是第一象限的角，且α＞β，但sinα=$\frac{1}{2}$＜sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误．
故正确的命题的序号是：②③，
故答案为：②③

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．