Question

18．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$≤α＜$\frac{3π}{2}$．
（1）求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{π}{2}$≤α＜$\frac{3π}{2}$．可得$\frac{3π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，根据cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，可得$\frac{3π}{2}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（2）由（1）可得$\frac{5π}{4}≤α＜\frac{3π}{2}$，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{2}$≤α＜$\frac{3π}{2}$．可得$\frac{3π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴$\frac{3π}{2}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$．
（2）由（1）可得$\frac{3π}{2}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴$\frac{5π}{4}≤α＜\frac{3π}{2}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cosα=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
sin2α=2sinαcosα=2×$（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）$=$\frac{7}{25}$，
cos2α=2cos²α-1=-$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{24}{25}$-$\frac{7}{25}$）=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．