Question

19．对于使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界，则f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$）的下确界$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由乘1法和基本不等式，可得f（x）的最小值，即可得到M的最大值，可得f（x）的下确界．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$）
=（x+1-x）（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{2x}{1-x}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2x}{1-x}•\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}}$=$\frac{9}{2}$．
当且仅当$\frac{2x}{1-x}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$，即x=$\frac{1}{3}$时，取得等号．
f（x）的最小值为$\frac{9}{2}$，
则M≤$\frac{9}{2}$．M的最大值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式的运用，属于中档题．