Question

9．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数为2个白球的概率；
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，由题意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x的值，即为所求．
（ii）分别计算从袋中任意摸出3个球的抽法总数和白球的个数为2个的抽法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，求得 P（B）=$\frac{16}{25}+\frac{6}{25（n-1）}$，可得它的值小于或等于$\frac{7}{10}$．再据至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于$\frac{2n}{5}$，红球的个数少于$\frac{n}{5}$．
从而得出结论．

解答 解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则由题意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x=5，或 x=14（舍去），
故白球有5个．
（ii）从中抽取3个球，共有${C}_{10}^{3}$=120种不同的抽取方法，
其中白球的个数为2个的抽法有：${C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}$=50种，
故从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数为2个的概率P=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$；
证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．
记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则 P（B）=$\frac{{C}_{\frac{2n}{5}}^{1}{•C}_{\frac{3n}{5}}^{1}+{C}_{\frac{2n}{5}}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{5}•\frac{3n}{5}+\frac{\frac{2n}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{2}}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{16n-10}{25（n-1）}$=$\frac{16（n-1）+6}{25（n-1）}$=$\frac{16}{25}+\frac{6}{25（n-1）}$≤$\frac{16}{25}+\frac{6}{25×4}$=$\frac{7}{10}$．
再据至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于$\frac{2n}{5}$，红球的个数少于$\frac{n}{5}$．
故袋中红球个数最少．

点评 本题主要考查古典概型概率计算公式，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．