Question

15．已知命题p：对于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{m^2+8}$恒成立；命题q：关于x的不等式x²+ax+a²-3a-4＜0的解集为A，A?B=[-3，1]，若p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q中的a的取值范围，再利用若p∨q为真，且p∧q为假，则p与q一真一假．即可得出．

解答 解：若命题p为真：
则对于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立；
由于（$\sqrt{{m}^{2}+8}$）_max=3，
∴a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
若命题q为真：
则关于x的不等式x²+ax+a²-3a-4＜0的解集为A，A?B=[-3，1]，
令f（x）=x²+ax+a²-3a-4，
则$\left\{\begin{array}{l}f（-3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-6a+6＜0\\{a}^{2}-2a-3＜0\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜3，
若p∨q为真，且p∧q为假，则p与q一真一假．
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}a≥6或a≤-1\\ a≥3或a≤1\end{array}\right.$，解得a≥6或a≤-1，
当q真p假时，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜6\\ 1＜a＜3\end{array}\right.$，
解得1＜a＜3，
综上可知：a的取值范围是a≥6，或1＜a＜3，或a≤-1．

点评 本题考查了简易逻辑的有关知识、恒成立问题的等价转化、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．