Question

5．计算根式$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$的值．

Answer 1

分析 化简可得$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\sqrt{3}）}}$，从而结合tan60°=$\sqrt{3}$可化简得原式=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin105°}}$，再由二倍角公式可得2+2sin105°=$\sqrt{2}$（sin$\frac{75°}{2}$+cos$\frac{75°}{2}$），从而连续应用解得．

解答 解：$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\sqrt{3}）}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\frac{sin60°}{cos60°}）}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin105°}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin75°}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2}（sin\frac{75°}{2}+cos\frac{75°}{2}）}$
=$\sqrt{2+2sin\frac{165°}{2}}$
=$\sqrt{2（sin\frac{165°}{4}+cos\frac{165°}{4}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$（sin$\frac{165°}{4}$+cos$\frac{165°}{4}$）
=2sin（$\frac{165°}{4}$+45°）
=2sin$\frac{345°}{4}$
=2sin（90°-$\frac{15°}{4}$）
=2cos$\frac{15°}{4}$．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题．