Question

设偶函数f（x）在（一∞，0）上是减函数，且f（3）=0，则满足

f(x)+f(-x)

|x|

＞0的X的取值范围是（　　）

A．（-3，0）∪（0，3）

B．（-∞，-3）∪（0，3）

C．（-3，0）∪（3，+∞）

D．（-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：先利用f（x）是偶函数，把

f(x)+f(-x)

|x|

＞0转化为

2f(x)

|x|

＞0?f（x）＞0，再利用偶函数的图象特点得其在（0，+∞）上是增函数结合f（3）=0，即可求出f（x）＞0对应的X的取值范围．

解答：解：因为f（x）是偶函数，故

f(x)+f(-x)

|x|

＞0可以转化为

2f(x)

|x|

＞0?f（x）＞0．
又因为f（x）在（一∞，0）上是减函数
所以在（0，+∞）上是增函数，又f（3）=0，
故当x＞3时，f（x）＞f（3）=0．
x＜-3时，f（x）＞f（-3）=f（3）=0．
故选  D．

点评：本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合问题．偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．