Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asinB-=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当A为锐角时，求函数y=sinB+sin（C-）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵2asinB-=0
∴由正弦定理，得：2sinAsinB-=0，
∵B是三角形内角，可得sinB＞0…（3分）
∴等式的两边约去sinB，得2sinA-=0，即sinA=…（5分）
因此，A=或A= …（7分）
（Ⅱ）∵A为锐角，∴结合（I）得A=
结合三角形内角和，得B+C= …（9分）
∵y=sinB+sin（C-）=sinB+sin（-B）
=sinB+cosB=2sin（B+） …（12分）
∵B∈（0，），得B+∈（，）
∴sin（B+）∈，可得2sin（B+）∈（1，2]
因此，函数y=sinB+sin（C-）的值域域为（1，2]…（14分）
分析：（I）根据正弦定理，化简2asinB-=0得2sinAsinB-=0，结合sinB＞0算出sinA=，由A∈（0，π）即可得到A=或A=；
（II）因为A为锐角，可得A=，从而得到B+C=，将函数y=sinB+sin（C-）化简为y=sinB+sin（-B），再由两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理，得y=2sin（B+），最后根据三角函数的图象与性质，结合角B的取值范围，即可求出函数y=sinB+sin（C-）的值域．
点评：本题给出三角形中的边角关系，求角A的大小并依此求一个三角函数式的值域，着重考查了用正余弦定理解三角形、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题．