Question

【题目】已知椭圆C的方程为 ，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线 被圆A和圆B截得的弦长之比为 ；

（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为 ；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得直线l的倾斜角为150°，

则点A到直线l的距离 ，

故直线l被圆A截得的弦长为 ，

直线l被圆B截得的弦长为 ，

据题意有： ，即

化简得：16e2﹣32e+7=0，

解得： 或 ，又椭圆的离心率e∈（0，1）；

故椭圆C的离心率为 ．

（2）解：假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；

当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；

故可设直线L的方程为y﹣n=k（x﹣m），

则点A（﹣7，0）到直线L的距离 ，

由（1）有 ，得 = ，

故直线L被圆A截得的弦长为 ，

则点B（7，0）到直线L的距离 ，rB=7，

故直线L被圆B截得的弦长为 ，

据题意有： ，即有16（rA2﹣D12）=9（rB2﹣D22），整理得4D1=3D2，

即 = ，

关于k的方程有无穷多解，

故有： ，

故所求点P坐标为（﹣1，0）或（﹣49，0）．

【解析】（1）根据直线l的斜率可知直线l的倾斜角，进而可求得点A到直线l的距离，进而表示出直线l被圆A截得的弦长和被圆B截得的弦长，利用弦长之比为 ，求得a和c的关系，进而求得e．（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（﹣7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为 建立等式，整理成关于k的一元二次方程，方程有无穷多解，进而求得m和n，则点P的坐标可得．