[题目]已知双曲线 =1(b∈N*)的两个焦点F1 . F2 . 点P是双曲线上一点.|OP|＜5.|PF1|.|F1F2|.|PF2|成等比数列.则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知双曲线 =1（b∈N*）的两个焦点F1 ， F2 ，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）
A.2
B.3
C.
D.

【答案】D
【解析】解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，
可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π﹣θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos（π﹣θ），
|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2 ， …②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2 ．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
c= = ，
即有e= = ．
故选：D．

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