Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn=2n2 ， {bn}为等比数列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，

故{an}的通项公式为an=4n﹣2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差数列．

设{bn}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q= ．

故bn=b1qn﹣1=2× ，即{bn}的通项公式为bn= ．

（2）解：∵cn= = =（2n﹣1）4n﹣1，

Tn=c1+c2+…+cn

Tn=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣1

4Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n

两式相减得，3Tn=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n= [（6n﹣5）4n+5]

∴Tn= [（6n﹣5）4n+5]

【解析】（1）由已知利用递推公式 可得an ， 代入分别可求数列bn的首项b1 ， 公比q，从而可求bn（2）由（1）可得cn=（2n﹣1）4n﹣1 ， 利用乘“公比”错位相减求和．