Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=1处有极值,f(x)在x=2处的切线l不过第四象限且倾斜角为,坐标原点到切线l的距离为.

(1)求a、b、c的值;

(2)求函数y=f(x)在区间［-1,］上的最大值和最小值.

Answer 1

解：(1)由f(x)=x³+ax²+bx+c,得f′(x)=3x²+2ax+b.

∵x=1时f(x)有极值,∴f′(1)=3+2a+b=0.①

∵f(x)在x=2处的切线l的倾斜角为,

∴f′(2)=12+4a+b=tan=1.②

由①②可解得a=-4,b=5.4分设切线l的方程为y=x+m,由坐标原点(0,0)到切线l的距离为,可得m=±1,又切线不过第四象限,∴m=1,切线方程为y=x+1.

∴切点坐标为(2,3).∴f(2)=8-16+10+c=3.∴c=1.故a=-4,b=5,c=1.

(2)由(1)知f(x)=x³-4x²+5x+1,f′(x)=3x²-8x+5=(x-1)(3x-5).∵x∈［-1,］,

∴函数f(x)在区间［-1,1］上递增,在(1,］上递减.

又f(-1)=-9,f(1)=3,f()=,

∴f(x)在区间［-1,］上的最大值为3,最小值为-9.