Question

20．已知实数a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2x}（x＞0）}\\{{e}^{a-x}（x＜0）}\end{array}\right.$，若f（1-a）=f（a-1），则a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件分1-a＞0和1-a＜0两种情况进行分类讨论，由此利用分段函数的性质能求出a的值．

解答 解：∵实数a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2x}（x＞0）}\\{{e}^{a-x}（x＜0）}\end{array}\right.$，f（1-a）=f（a-1），
∴当1-a＞0时，e^2（1-a）=e^a-（a-1），
即2（1-a）=a-（a-1），解得a=$\frac{1}{2}$；
当1-a＜0时，e^a-（1-a）=e^2（1-a），
即a-（1-a）=2（1-a），解得a=$\frac{3}{4}$，此时1-a＜0，不成立．
综上：a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．