Question

9．设f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，试求：
（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2）f（$\frac{1}{2010}$）+f（$\frac{2}{2010}$）+…+f（$\frac{2010}{2010}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的解析式化简求解即可．
（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，进而可得f（$\frac{1}{2010}$）+f（$\frac{2}{2010}$）+…+f（$\frac{2010}{2010}$）=f（x）+f（1-x）．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，f（a）+f（1-a）=$\frac{{2}^{a}}{{2}^{a}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-a}}{{2}^{1-a}+\sqrt{2}}$=$\frac{{2}^{a}}{{2}^{a}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-a}•{2}^{a}}{{2}^{1-a}•{2}^{a}+\sqrt{2}•{2}^{a}}$=$\frac{{2}^{a}}{{2}^{a}+\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{{2}^{a}+\sqrt{2}}$=1
（2）由（1）得：f（a）+f（1-a）=1，
∴f（$\frac{1}{2010}$）+f（$\frac{2}{2010}$）+…+f（$\frac{2010}{2010}$）=$\frac{1}{2}$×2010[f（a）+f（1-a）]+f（1）=1005+$\frac{{2}^{1}}{{2}^{1}+\sqrt{2}}$
=1005+2-$\sqrt{2}$
=1007-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的对称性，其中熟练掌握函数对称变换法则，是解答的关键．