Question

（本小题满分12分）

已知抛物线C₁:y²=4x的焦点与椭圆C₂:的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点；

（Ⅰ）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y²=4x上运动，求ABC重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=,求cos的值及PF₁F₂的面积。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） (y+1)²=.(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设重心G(x,y)，则 整理得………2分

将(*)式代入y²=4x中，得(y+1)²= ∴重心G的轨迹方程为(y+1)²=.………4分

(Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y²=4x得F₂(1,0)，∴b²=8，椭圆方程为.………6分

设P(x₁,y₁) 由得，∴x₁=，x₁=-6(舍).

∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁。

设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则︱PF₂︱=︱PN︱.

又︱PN︱=x₁+1=,

∴.………………………8分

过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=在Rt△PP₁F₂中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。………………………………10分

∵x₁=,∴∣PP₁∣=,∴.………………………12分

考点：本题考查了轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系

点评：此类问题利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹