Question

若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2^x，则函数f（x）=

 

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Answer 1

分析：本题中的函数是一个奇函数，且知道了x＜0时，f（x）=2^x，由此条件求函数在定义域上的解析式，利用奇偶性求解析式，当自变量为0时，表达式为0，对于自变量小于0时的解析式求法，注意两点一是求谁设谁，任取x＜0，则-x＞0，先求出f（-x），二是利用奇偶性得出f（-x）与f（x）的关系，由此两个方程解出x＜0时的解析式，最后将函数解析式写成分段函数的形式

解答：解：任取x＞0，则-x＜0
∵x＜0时，f（x）=2^x，
∴f（-x）=2^-x，①
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）     ②
由①②得-f（x）=2^-x，即x＞0时，f（x）=-2^-x，
故函数的解析式为f（x）=

-2 -x  x＞0 0   ，x=0 2x     x＜0

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故答案为

-2 -x  x＞0 0   ，x=0 2x     x＜0

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点评：本题考点是函数奇偶性的性质，考查根据函数的奇偶性质求函数的解析式，其步骤是：
①利用奇偶性求得f（-x）与f（x）的关系，
②设出要求区间上的自变量x，则-x属于已知解析式的区间，解出f（-x）
③联立解出要求区间上的解析式．
利用函数的奇偶性求解析式是函数的奇偶性的重要运用，高考中多涉及这一知识点，学习时应细心掌握其规律．