Question

【题目】设是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系中,曲线的方程为且,点.

(1)设是上的任意一点,试求线段的中点的轨迹的方程并指出曲线的类型和位置;

(2)求出、在它们的交点处的各自切线之间的夹角(锐角)(用反三角函数式表示)

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）

（且）

（由，得）

（且）.

故曲线是在一条等轴双曲线上挖去点（0，0）和所得的曲线.

设的中点为，则.

从而，.

代入方程得

（且）.

因此，的轨迹的方程为

（且）.

它的中心点为，渐近线为及，即是在一条等轴双曲线上挖去点和所得的曲线.

（2）联立方程组

②÷①得.

解得，代入式②得.

故与的交点为.

对的两边求关于的导数得，即

.

再对的两边求关于的导数得，即

.

与在焦点处的各自的切线的夹角（锐角）的正切值为.

故.