Question

在（2+）¹⁰⁰展开式中，求共有多少个有理数的项？

Answer 1

解：根据题意，（2+）¹⁰⁰的二项展开式为T_r+1=C₁₀₀^r•2^100-r•（）^r=C₁₀₀^r•2^100-r•，r=0，1，2，3，…100
若展开式为有理数，即为有理数，
则r为4的倍数，r=0，4，8，12，…100．
100=0+（n-1）×4，
可得n=26，有26个符合条件，
共有26个有理数的项．
分析：根据题意，可得的二项展开式，若x的系数为有理数，即（）^100-r•（）^r为有理数，则100-r为2的倍数，r为3的倍数，设r=3n，则100-3n为2的整数倍，分析可得答案．
点评：本题考查二项式定理的应用，注意整数的整除的有关性质，仔细进行分析．