Question

已知点，圆C：与椭圆E:有一个公共点，分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

（1）．
（2）

（1）点A代入圆C的方程，得，
∵m＜3，∴m=1．圆C的方程为．
设直线的斜率为k，则：，
即．
∵直线与圆C相切，∴，解得，或．
当时，直线与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当时，直线与x轴的交点横坐标为-4，
∴．
，
．椭圆E的方程为：．
(2) ，设，
．
∵，即，
而，∴．
则的取值范围是［0，36］．
x+3y的取值范围是［-6，6］．
∴x+3y-6的取值范围是［-12，0］，
即·的取值范围是［-12，0］．