Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求证：{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$，证明{c_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差，移向变形可得：{b_n}是等比数列，由等比数列的通项公式得到${b}_{n}=3×{2}^{n-1}$；
（2）由（1）中求得的{b_n}的通项公式，可得a_n+1-2a_n=3×2^n-1，两边同时除以2ⁿ⁺¹，得到$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{4}$，即数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为公差的等差数列，由此求得{a_n}的通项公式，求出a_n，由等比数列的定义可证{c_n}是等比数列．

解答 证明：（1）由S_n+1=4a_n+2，得S_n=4a_n-1+2（n≥2），
两式作差可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2，∴a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=3×1+2=5，
b₁=a₂-2a₁=5-2=3．
∴{b_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
则${b}_{n}=3×{2}^{n-1}$；
（2）由${b}_{n}=3×{2}^{n-1}$，得a_n+1-2a_n=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{4}$，即数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）=\frac{3}{4}n-\frac{1}{4}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}（3n-1）•{2}^{n}$．
∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$=$\frac{\frac{1}{4}（3n-1）•{2}^{n}}{3n-1}=\frac{1}{4}•{2}^{n}={2}^{n-2}$，
∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-2}}=2$．
即{c_n}是公比为2的等比数列．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等差数列的通项公式的求法，是中档题．