Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知

m

=(sinA，cosA)，

n

=(sinB，-cosB)，且

m

与

n

的夹角为

π

3

．
（Ⅰ）求内角C的大小；
（Ⅱ）已知c=

7

2

，三角形的面积S=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（I）分别利用向量的数量积的定义及坐标表示求出

m

•

n

，结合已知即可求解cosC，进而可求C
（II）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及三角形的面积公式S=

1

2

absinC及已知可得关于a，b的方程，解方程可求a+b

解答：解：（Ⅰ）由向量的数量积的定义可知，

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cos?

m

，

n

＞=1×1×cos

π

3

=cos

π

3

=

1

2

又

m

•

n

=sinAsinB-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC
∴cosC=cos

π

3

=

1

2

又0＜C＜π，∴C=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式得：

c2=a2+b2-2abcosC S= 1 2 absinC

⇒

49 4 =a2+b2-ab 3 2 3 = 1 2 ab× 3 2

⇒

(a+b)2= 121 4 a+b＞0

⇒a+b=

11

2

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，及正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用．