Question

10．解关于x的不等式：①$\frac{x-1}{2x-1}≥2$；   ②（2mx-1）（x-2）＜0（m为实常数）

Answer 1

分析 ①原不等式可化为$\frac{1-3x}{2x-1}≥0$，所以有$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）（1-3x）≥0\\ 2x-1≠0\end{array}\right.$，由此求得不等式的解集．
②对于不等式（2mx-1）（x-2）＜0，分类讨论，求得它的解集．

解答 解：①原不等式可化为$\frac{x-1}{2x-1}-2≥0$，即$\frac{1-3x}{2x-1}≥0$，所以有$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）（1-3x）≥0\\ 2x-1≠0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$，可得不等式的解集为{x|$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$}．
②对于不等式（2mx-1）（x-2）＜0，
当m=0时，原不等式即为-（x-2）＜0解得：x＞2．
当m≠0时，原不等式可化为$2m（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＜0$，
当m＜0时，得$（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＞0$，解得它的解集为{x|$x＜\frac{1}{2m}或x＞2$}．
当m＞0时，原不等式可化为$（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＜0$，
当0＜m＜$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{2m}$＞2，所以不等式的解集为{x|$2＜x＜\frac{1}{2m}$}；
当m=$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{2m}$=2，所以原不等式无解；
当m＞$\frac{1}{4}$时，可得$\frac{1}{2m}$＜2，所以不等式的解集为{x|$\frac{1}{2m}＜x＜2$}．
综上所得：原不等式的解集为：
当m＜0时，解集为$（-∞，\frac{1}{2m}）∪（2，+∞）$；当m=0时，解集为（2，+∞）；当0＜m＜$\frac{1}{4}$时，解集为$（2＜，\frac{1}{2m}）$；
当m=$\frac{1}{4}$时，解集为φ；当m＞$\frac{1}{4}$时，解集为$（\frac{1}{2m}，2）$．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．