Question

设a∈R，函数f(x)=

1

x

+a|1-lnx|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论f（x）在（0，e）上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求出f（x）的表达式，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）a=1时，f(x)=

1

x

+|1-lnx|，x∈(0，e)，f(x)=

1

x

+1-lnx
则f′(x)=-

1

x2

-

1

x

，f′(1)=-2，f(1)=2，
则切线方程为y=-2x+4．
（2）x∈(0，e)，f(x)=

1

x

+a(1-lnx)，f′(x)=-

1

x2

-

a

x

=-

1+ax

x2

，
1⁰当a≥0时，x∈（0，e），f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（0，e）上单调递减；
20当-

1

a

≥e时，即-

1

e

≤a＜0，x∈（0，e），f'（x）＞0恒成立，
则f（x）在（0，e）上单调递增；
30当0＜-

1

a

＜e时，即a＜-

1

e

，当x∈(0，-

1

a

)时f′(x)＜0，
则f(x)在(0，-

1

a

)上单调递减；
当x∈(-

1

a

，e)时f′(x)＞0，
则f(x)在(-

1

a

，e)上单调递增．

点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义，以及函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．