Question

已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=

15

，b=2，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）求

1+sin2B

cos2B-sin2B

的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直的充要条件即可得出；
（Ⅱ）利用正弦定理，求出tanB=

1

2

，将

1+sin2B

cos2B-sin2B

化简为

tanB+1

1-tanB

，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵A-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

）
∴A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

3

；
（2）∵a=

15

，b=2，
∴sinB=

bsinA

a

=

1

5

，
∵b＜a，
∴tanB=

1

2

．
∴

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

tanB+1

1-tanB

=3．

点评：熟练掌握向量垂直的充要条件、正弦定理及二倍角公式是解题的关键．