Question

已知数列{a_n}的前项n和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是-

2

3

（n∈N⁺）
（1）证明数列{S_n-

2

3

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意正整数n，不等式k≥S_n恒成立，求实数k的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n与-3S_n+1的等差中项是-，可得S_n-3S_n+1=-

4

3

，即S_n+1=

1

3

S_n+

4

9

，进而可得

Sn+1- 2 3

Sn- 2 3

=

1

3

，从而得到数列{S_n-

2

3

}为等比数列；
（2）由（1）中结合可得S_n的表达式，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1时是否成立，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据指数函数的图象和性质可得S_n是单调递减数列，若不等式k≥S_n恒成立，仅须k≥S_n的最大值S₁即可，求出最大值和k的范围即得答案．

解答： 解：（1）因为S_n与-3S_n+1的等差中项是-

2

3

，
所以S_n-3S_n+1=-

4

3

，即S_n+1=

1

3

S_n+

4

9

，…（2分）
由此得S_n+1-

2

3

=

1

3

（S_n-

2

3

），…（3分）
即

Sn+1- 2 3

Sn- 2 3

=

1

3

，…（4分）
∵S₁-

2

3

=a₁-

2

3

=

1

3

，
∴数列{S_n-

2

3

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-

2

3

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=

1

3n

，即S_n=

1

3n

+

2

3

，…（6分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

3n

+

2

3

-（

1

3n-1

+

2

3

）=-

2

3n

…（8分）
∵n=1时，a₁=-

2

3

，不适合上式，
所以a_n=

1，     n=1 - 2 3n ，n≥2

．…（9分）
（3）要使不等式k≥S_n对任意正整数n恒成立，即k大于或等于S_n的所有值．
∵S_n=

1

3n

+

2

3

是单调递减数列，…（10分）
且当n=1时，S_n取得最大值1，…（11分）
要使k大于或等于S_n的所有值，即k≥1，…（13分）
所以实数k的最小值为1．…（14分）

点评：本题考查的知识点是等比数列的确定，由前项n和为S_n求数列的通项公式，以及利用数列的单调性求解恒成立问题，是数列问题的综合应用，难度较大．