Question

已知函数f（x）=

x2e-ax   x＜0 a-x2 x+1 -1    x≥0

在R上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分当x＜0、当x＞0两种情况，分别考查导数的符号，求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：当x＜0时，f′（x）=x（2-ax）e^-ax，
当x＞0时，f′(x)=

-2x(x+1)-(a-x2)

(x+1)2

=

-x2-2x-a

(x+1)2

．
若f（x）在R上为单调递增函数，则当x＞0时，f′(x)=

-x2-2x-a

(x+1)2

＞0，显然a∈∅．
若f（x）在R上为单调递减函数，则
当x＞0时，f′(x)=

-x2-2x-a

(x+1)2

＜0，即a＞-x²-2x，所以a≥0．
当x＜0时，f′（x）=x（2-ax）e^-ax＜0，即ax-2＜0，所以a≥0．
当x=0时，0≥a-1，即a≤1．
综上可得0≤a≤1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的定义、性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．