Question

设等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且S₄=48，a₂+a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（17-a_n）2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差，由此能求出a_n=32-8n．
（2）由b_n=（17-a_n）2ⁿ=（8n-15）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且S₄=48，a₂+a₄=16，
∴

4a1+ 4×3 2 d=48 2a1+4d=16

，
解得a₁=24，d=-8，
∴a_n=24+（n-1）×（-8）=32-8n．
（2）b_n=（17-a_n）2ⁿ=（8n-15）•2ⁿ，
∴Tn=-7×2+1×22+9×23+…+(8n-15)×2n，①
2T_n=-7×2²+1×2³+9×2⁴+…+（8n-15）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=-14+8（2²+2³+…+2ⁿ）-（8n-15）×2ⁿ⁺¹
=-14+8×

4(1-2n-1)

1-2

-（8n-15）×2ⁿ⁺¹
=-46-（8n-23）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（8n-23）•2ⁿ⁺¹+46．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．