Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x•y）=f（x）+f（y），当x∈（0，1）时，f（x）＞0，且f(

1

2

)=1．
（1）求f（1）和f（4）的值．
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）用特殊值法求解，令x=y=1可得，f（1）=2f（1），解可得f（1）的值；再令x=2、y=

1

2

可得f（2）的值，进而令x=y=2可得f（4）的值；
（2）用作差法证明，根据题意，设0＜x₁＜x₂，则有0＜

x1

x2

＜1，将x₁表示为x₂×

x1

x2

，则可得f（x₁）=f（x₂×

x1

x2

）=f（x₂）+（

x1

x2

），计算并分析f（x₁）-f（x₂）可得f（x₁）＞f（x₂），即可得到证明．

解答： 解：（1）在f（x•y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=1可得，f（1）=2f（1），解可得f（1）=0，
令x=2、y=

1

2

可得，f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0，则f（2）=-1，
令x=y=2可得，f（4）=2f（2）=-2；
（2）根据题意，设0＜x₁＜x₂，则有0＜

x1

x2

＜1，
f（x₁）=f（x₂×

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查抽象函数的应用，涉及函数单调性的证明，如（1）的求值问题一般用赋值法．