Question

设f（x）是定义在R⁺上的增函数，并且对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y）总成立．
（1）求证：x＞1时，f（x）＞0；
（2）如果f（3）=1，解不等式f（x）＞f（x-1）+2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，f（1）=0，f（x）是定义在R+上的增函数，x＞1时，f（x）＞0．
（2）令x=y=3，求得f（9）=2，根据已知条件得到不等式组，解得即可．

解答： （1）证明：令x=y=1，
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
又f（x）是定义在R+上的增函数，x＞1时，f（x）＞0．
（2）∵f（3）=1，令x=y=3，
∴f（3）+f（3）=f（9）=2，
∵f（x）＞f（x-1）+2
∴f（x）＞f（x-1）+f（9），
∴f（x）＞f[9（x-1）]
∵f（x）是定义在R+上的增函数，
∴

x＞0 9(x-1)＞0 x＞9(x-1)

，
解得，1＜x＜

9

8

，
所以解集为{x|1＜x＜

9

8

}．

点评：本题主要考查函数的单调性及应用，注意不要忘记函数的定义域，同时考查解决抽象函数问题常用的方法：赋值法，注意条件的反复运用和灵活运用．