Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差数列（n∈N^*），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1=b_n+

1

3an

（n≥1）求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）函数f（x）=log₃x，设数列{c_n}满足c_n=

1

(n+3)[f(an)+2]

求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由2S_n=a_n+1-1，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1，两式相减得

an+1

an

=3，再求得

a2

a1

=3，由此可判断a_n}是等比数列，可求a_n；
（2）利用累加法可求b_n，再由分组求和可得T_n．
（3）表示出c_n，拆项后利用裂项相消法可求得R_n．注意消项规律；

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n+1-1，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1，
∴2（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=3，
∵2a₁=a₂-1，∴a₂=3，

a2

a1

=3，
∴{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1．
（2）bn+1=bn+

1

3•3n-1

，∴bn-bn-1=

1

3n-1

，
累加得bn=

3

2

(1-

1

3n

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

2

n-

3

4

(1-

1

3n

)．
（3）cn=

1

(n+3)(n+1)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
Rn=

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+(

1

3

-

1

5

)+（

1

4

-

1

6

）+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)]
=

1

2

[

5

6

-

2n+5

(n+2)(n+3)

]．

点评：该题考查由递推式求数列通项、数列求和、等比数列的性质，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．