Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁中点
（1）求异面直线BC与AE所成角的余弦值；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）AD∥BC，可得∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果；
（2）取BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．可以证出四边形B₁FCE是平行四边形，从而CF∥B₁E；然后再证四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，结合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B₁DE． 最后利用面面平行的性质，得到AC∥面B₁DE；
（3）转换底面，底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A-BDE的体积．

解答： （1）解：由题意，AD∥BC，
∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=

5

，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE=

AD

AE

=

2

3

；
（2）证明：取BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中点，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中点，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE．  又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．
（3）解：∵AC∥面B₁DE
∴A到面B₁DE 的距离等于C到面B₁DE 的距离，
∴V_A-B1DE=V_C-B1DE=V_D-B1DC=

1

3

•

1

2

•1•2•2=

2

3

．

点评：本题以正方体为平台，着重考查了空间直线与平面平行的判定与性质，考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．