Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，D、E分别为AB、PC的中点．
（1）若点F在BC边上，BF=λBC，则实数λ为何值时，PB∥平面DEF；
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，AB=2，AC=

5

，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）当F作为BC中点时，结论成立，通过中位线性质证明出EF∥PB，根据线面平行的判定定理证明出PB∥平面DEF．
（2）先通过三角形全等证明出AC=BC，进而通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面PDC，进而求得CD，PC，利用余弦定理求得cos∠PDC的值，则sin∠PDC的值可得，最后利用三角形面积公式求得三角形PDC的面积，通过体积公式求得答案．

解答： 解：（1）当实数λ=

1

2

时，PB∥平面DEF．
证明：依题意知F为BC的中点，E为PC的中点，
∴EF∥PB，
∵EF?平面DEF，PB?平面DEF，
∴PB∥平面DEF．
（2）∵∠PAC=∠PBC=90°，BP=AP，PC=PC，
∴△PBC≌△PAC，
∴AC=BC，
连接PD，CD，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PDC，
∴PD=

3

2

AB=

3

，CD=

AC2-AD2

=2，PC=

PA2+AC2

=3
由余弦定理得，cos∠PDC=-

3

6

，
∴sin∠PDC=

33

6

，又S△PDC=

11

2

，
∴VP-ABC=

11

3

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．证明的关键是找到线面平行或线面垂直．