Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，BB₁=2，E为BB₁的中点．（1）求证：AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求二面角E-AD₁-A₁的正切值；
（3）求三棱锥A-C₁D₁E的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由正方体的性质证出AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，由线面垂直的判定证明AE⊥平面A₁D₁E；
（2）取AA₁的中点O，过O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F、连EF，根据二面角的定义证明∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角，在△AFO中求解即可；
（3）由（2）中的结论将点E到面AD₁C₁的距离，转化为点F到面AD₁C₁的距离，再换底后代入三棱锥的体积公式求值．

解答： 证明：（1）由正方体的性质得，A₁D₁⊥面A₁B₁BA，
∴AE⊥A₁D₁，
∵AB=AD=1，BB₁=2，E为BB₁的中点，∴AE⊥A₁E，
又A₁E∩A₁D₁=A₁，∴AE⊥平面A₁D₁E．
解：（2）取AA₁的中点O，连OE，
则EO⊥AA₁、EO⊥A₁D₁，AA₁∩A₁D₁=A₁，
∴EO⊥平面ADD₁A₁，∴EO⊥AD₁，
过O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，
连EF，则AD₁⊥面EFO，
∴AD₁⊥EF，
∴∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角．
在△AFO中，OF=OA•sin∠OAF=OA•

A1D1

AD1

=1×

1

5

=

5

5

．
则tan∠EFO=

5

．
（3）由（2）知，EO∥D₁C₁，
且EO?面AD₁C₁，D₁C₁?面AD₁C₁，
∴EO∥面AD₁C₁，
又∵OF⊥AD₁，OF⊥D₁C₁，
∴OF⊥面AD₁C₁，
则点E到面AD₁C₁的距离是点F到面AD₁C₁的距离，
∴VA-C1D1E=VE-AC1D1=

1

3

•S△AC1D1•OF
=

1

3

×

1

2

×1×

5

×

5

5

=

1

6

．

点评：本题考查了二面角的求解过程，换底求三棱锥的体积，线面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力，空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．