Question

已知函数f（x）=2cos（2x+

π

6

）
（1）当-

π

6

≤x≤

π

3

时，求函数y=f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（2）若方程f（x）=a在区间[0，

2π

3

]上只有一个实数根，求实数a的取值集合．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据x的范围，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．
（2）根据x的范围，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，从而求得实数a的取值集合

解答： 解：（1）当-

π

6

≤x≤

π

3

时，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，-

3

2

≤cos(2x+

π

6

)≤1，
故f（x）最大值为2，此时x=-

π

12

，f（x）最小值为-

3

，此时x=

π

3

．
（2）f（x）在区间[0，

5π

12

]上是减函数，在[

5π

12

，

2π

3

]上是增函数，f(0)=

3

，f(

5π

12

)=-2，f(

2π

3

)=0，
所以当a=-2或0＜a≤

3

时，方程f（x）=a在区间[0，

2π

3

]上只有一个实数根．
于是满足条件的实数a的取值集合是{a|0＜a≤

3

，或a=-2}．

点评：本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．