Question

已知f（x）=ax³+bx²-3x+c在x=-1时有极大值6，在x=1时有极小值，求a，b，c的值；并求f（x）在区间[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据函数在极值点处的导数为0，和x=-1时有极大值6这几个条件很容易求出a，b，c的值，从而求出函数f（x）．求f（x）在区间[-2，1]上的最大值和最小值，就要看在[-2，1]上f（x）的单调性如何，有无极值，和端点值做比较，最大的取做最大值，最小的取做最小值．

解答： 解：f′（x）=3ax²+2bx-3；
由题意知：f′（-1）=0，所以3a-2b-3=0   ①
f（-1）=6，所以-a+b+3+c=6             ②
f′（1）=0，所以3a+2b-3=0             ③
由①②③得：a=1，b=0，c=4，所以f（x）=x³-3x+4，f′（x）=3x²-3，令3x²-3=0得：x=±1，所以，x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，且f（-1）=6，所以x=-1时，函数f（x）有极大值6，它也是f（x）在[-2，1]上的最大值，
所以f（x）在区间[-2，1]上的最大值是6；
又f（-2）=2，f（1）=0，所以f（x）在区间[-2，1]上的最小值是0．

点评：考查极值的概念，及利用导数求最值的方法．