Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x，a∈R．
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围；
（2）若f （x）在区间 （-1，2）内存在两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）对函数f（x）=x³-ax²-3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，然后将参数a进行分离可求出所求；
（2）求导函数，将函数f（x）在（-1，2）有两个极值点，转化为方程f（x）=0在（-1，2）上有两个不等的根，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵函数f（x）=x³+ax²+x在（-1，2）有两个极值点，
∴方程3x²-2ax-3=0在（-1，2）上有两个不等的根，
∴

△＞0 f′(-1)＞0 f′(2)＞0

即

4a2+36＞0 3+2a-3＞0 12-4a-3＞0

，
解得：0＜a＜

9

4

，
∴a的取值范围是（0，

9

4

）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，本题属于中档题．