Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的定义，真数需要大于0，列不等式解得即可．
（2）函数的零点也是就方程的解，解方程即可，需要判断所求的解在不在x的定义域内．
（3）根据对数函数是减函数，求出f（x）的最值，然后代入求解．

解答： 解：（1）要使函数有意义：则有

1-x＞0 x+3＞0

，解之得：-3＜x＜1，
所以函数的定义域为：（-3，1）
（2）函数可化为f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3），
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，
解得x=-1±

3

，
∵x=-1±

3

∈（-3，1），
∴f（x）的零点是-1±

3

；
（3）函数可化为：函数可化为f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴log_a[-（x+1）²+4]≥log_a4
即f（x）_min=log_a4，
由题知，log_a4=-2，
∴a^-2=4
∴a=

1

2

点评：本题主要考查了对数函数的定义和性质以及函数的零点问题，灵活转化函数的形式是关键，属于中档题．