Question

已知焦点在x轴上椭圆长轴是短轴的2倍，椭圆上任意一点与两焦点组成的三角形面积的最大值为

3

，P是圆x²+y²=16上任意一点，过P点作椭圆的切线PA，PB，切点分别为A，B．
（1）求椭圆的轨迹方程；
（2）求

PA

•

PB

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用焦点在x轴上椭圆长轴是短轴的2倍，椭圆上任意一点与两焦点组成的三角形面积的最大值为

3

，求出a，b，c，即可求椭圆的轨迹方程；
（2）求出直线AB的方程为

mx

4

+ny=1．代入椭圆方程，利用数量积公式，结合P是圆x²+y²=16上任意一点，即可求

PA

•

PB

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵焦点在x轴上椭圆长轴是短轴的2倍，椭圆上任意一点与两焦点组成的三角形面积的最大值为

3

，
∴a=2b，

1

2

•2c•b=

3

，
∴a=2，b=1，c=

3

，
∴椭圆的轨迹方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
PA：

x1x

4

+y₁y=1，PB：

x2x

4

+y₂y=1，
∵过P点作椭圆的切线PA，PB，
∴直线AB的方程为

mx

4

+ny=1．
代入椭圆方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=

8m

4n2+m2

，x₁x₂=

16-16n2

4n2+m2

，
∴

PA

•

PB

=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6，
∵m²+n²=16，
∴

PA

•

PB

=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6
=11-

44

3n2+16

，
∵0≤n²≤16，
∴n=0，m=±4，即P（±4，0）时，

PA

•

PB

有最小值

33

4

，
∴m=0，n=±4，即P（0，±4）时，

PA

•

PB

有最大值

165

16

．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线，解题时要认真审题，注意运用方程思想等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力，难度较大．