Question

设函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：求函数f（x）的导数，解f′（x）＞0便得增区间．要使关于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，也就是让函数f（x）+x²-x-2-a在[1，3]内有两个零点，令g（x）=f（x）+x²-x-2-a=2lnx-x-2-a，下面要做的就是考查g（x）在区间[1，3]内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反．

解答： 解：（1）f′（x）=

2(1-x2)

x

，∵x＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1]．
（2）将f（x）代人方程f（x）+x²-x-2-a=0得2lnx-x-2-a=0，令g（x）=2lnx-x-2-a则g′（x）=

2-x

x

；
∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0；
∴g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；
∵关于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；
∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：

2ln2-4-a＞0 -3-a＜0 2ln3-5-a＜0

解得：2ln3-5＜a＜2ln2-4，所以a的取值范围是（2ln3-5，2ln2-4）．

点评：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．