Question

已知函数f（x）=2alnx-x+

1

x

，（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b．
（Ⅰ）若f（x）在定义域上有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），则等价为f_max（x）＜g_max（x），利用导数与最值之间的关系，即可求实数b的取值范围．
（Ⅲ）对?n∈N，且n≥2，证明：ln（n!）⁴＜（n-1）（n+2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据f（x）在定义域上有极值，建立导数之间的关系，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=

2

时，若对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数b的取值范围．
（Ⅲ）根据导数，判断函数的单调性，利用单调性即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），要f（x）在定义域内有极值，
则f′(x)=

-x2+2ax-1

x2

=0?-x2+2ax-1=0有两不等正根，
∴

a＞0 -a2+2a2-1＞0

⇒a＞1．
（Ⅱ）f(x)=2

2

lnx-x+

1

x

，要对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂）
则只需f_max（x）＜g_max（x），
由f′(x)=

-x2+2 2 x-1

x2

＞0⇒

2

-1＜x＜

2

+1，
得函数f（x）在(1，

2

+1)上递增，在(

2

+1，e)上递减，
∴函数f（x）在x=25处有最大值；
则fmax(x)=f(

2

+1)=2

2

ln(

2

+1)-2；
又g（x）在（1，e）上递减，
故gmax(x)=g(1)=2

2

b-2
故有2

2

b-2＞2

2

ln(

2

+1)-2⇒b＞ln(

2

+1)．
（Ⅲ）当a=1时，f(x)=2lnx-x+

1

x

，f′(x)=

-x2+2x-1

x2

≤0恒成立，
故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，
故当x≥1时，f(x)=2lnx-x+

1

x

≤f(1)=0即2lnx≤x-

1

x

，
故对?n∈N，且n≥2，总有2lnn≤n-

1

n

＜n，
故有2(ln2+ln3+…+lnn)＜2+3+…+n?2ln(n!)＜

(n+2)(n-1)

2

?ln(n!)4＜(n-1)(n+2)成立．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数求函数的最值，要求熟练掌握导数的应用和基本运算，综合性较强，难度较大．