Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的极值点．
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
（3）证明：+…+（n∈N，n＞1）．

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=-k．
当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数．
f（x）在（1，+∞）上无极值点．
当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+． 所以当x∈（1，1+ ）时，f′（x）=-k＞-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+ ）上是增函数，
当x∈（1+，+∞） 时，f′（x）=-k＜-k=0，∴f（x）在∈（1+，+∞） 上是减函数．
∴x=1+ 时，f（x）取得极大值．
综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点； 当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+．
（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考虑k＞0．
由1）知，f（x）_max=f（1+ ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）_max=f（1+ ）=-lnk≤0 即可，
化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．
3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．
∴lnn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²．
∴＜，n∈N，n＞1．
∴+…+＜ （3+4+5+…+n+1）=×（n-1）
=，n∈N，n＞1．
分析：（1）f′（x）=-k，当k≤0时，由 x-1＞0，得 f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上无极值点．当 k＞0时，有倒数的符号可得f（x）在∈（1，1+ ）上是增函数，f（x）在∈（1+，+∞） 上是减函数，故 x=1+ 时，f（x）取得极大值．
（2）由 1）可知只需考虑k＞0，f（x）_max=f（1+ ）=-lnk≤0即可，化简得：k≥1．
（3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1，可得lnn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²，故＜，故 +…+＜ （3+4+5+…+n+1）=×（n-1），从而得出结果．
点评：本题考查利用导数求函数的极值，函数的恒成立问题，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，不等式的放缩，是解题的难点．