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(2013•汕头一模)数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.
(1)若A=-
1
2
,B=-
3
2
,C=1,设bn=an+n,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)在(1)的条件下,cn=(2n+1)bn,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn<5;
(3)若C=0,{an}是首项为1的等差数列,若λ+n≤
n
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
对任意的正整数n都成立,求实数λ的取值范围(注:
n
i=1
xi
=x1+x2+…+xn
分析:(1)依题意,an+Sn=-
1
2
n2-
3
2
n+1,由n=1可求得a1与b1,当n≥2时,an-1+Sn-1=-
1
2
(n-1)2-
3
2
(n-1)+1,两式作差可求得bn=
1
2
bn-1(n≥2),从而可证数列{bn}是等比数列;
(2)cn=
2n+1
2n
,Tn=
3
21
+
5
22
+
7
23
+…+
2n-1
2n-1
+
2n+1
2n
,利用错位相减法即可求得Tn=5-
2n+5
2n
,从而可证Tn<5;
(3)设Pn=
n
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
-n(n∈N*),则Pn+1=
n+1
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
-(n+1)(n∈N*),由Pn+1-Pn>0可知,{Pn}是递增数列,从而(Pnmin=P1,问题得到解决.
解答:(1)证明:∵an+Sn=-
1
2
n2-
3
2
n+1,①
∴当n=1时,a1+S1=-1,即a1=-
1
2
,b1=a1+1=
1
2

当n≥2时,an-1+Sn-1=-
1
2
(n-1)2-
3
2
(n-1)+1,②
由①-②得:2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=an-1+n-1,
∴bn=
1
2
bn-1(n≥2),
∴数列{bn}是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列;
(2)由(1)得:bn=(
1
2
)
n

∴cn=
2n+1
2n

∴Tn=
3
21
+
5
22
+
7
23
+…+
2n-1
2n-1
+
2n+1
2n
①,
1
2
Tn=
3
22
+
5
23
+
7
24
+…+
2n-1
2n
+
2n+1
2n+1
②,
由①-②得:
1
2
Tn=
3
2
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n
-
2n+1
2n+1

=
1
2
+2(
1
21
+
1
22
+…+
1
2n
)-
2n+1
2n+1

=
1
2
+2•
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-
2n+1
2n+1

=
5
2
-
1
2n-1
-
2n+1
2n+1

∴Tn=5-
1
2n-2
-
2n+1
2n
=5-
2n+5
2n

2n+5
2n
>0,
∴Tn<5.
(3)设Pn=
n
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
-n(n∈N*),Pn+1=
n+1
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
-(n+1)(n∈N*),
∴Pn+1-Pn=
1+
2
(n+1)2
+
1
(n+2)2
-1>1-1=0,
∴{Pn}是递增数列,
∴(Pnmin=P1=
1+1+
1
4
-1=
1
2

∴λ+n=
n
i=1
1+
2
a
2
i
+
1
a
2
i+1
对任意的正整数n都成立?λ≤
1
2
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查等比关系的确定与错位相减法求和,突出构造函数思想,考查函数的单调性与最值,属于难题.
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幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福
幸福指数(分) 90 60 30 0
人数(个) 19 21 7 3
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x
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4
9
4
9

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m
=(2sin
A
2
3
)
n
=(cosA,2cos2
A
4
-1)
,且
m
n

(I)求角A的大小;
(II)若a=
7
且△ABC的面积为
3
3
2
,求b十c的值.

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〔II)若a=2,b=1.求函数g(x)=f1(x)+f2(x)在R上的单调区间;
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