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已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的图象与y轴交于点(0,
3
),点(a+π,-2)与(a,2)分别是函数图象上相邻的最低点与最高点.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 
3
2
倍,横坐标缩短到原来的
1
2
倍,得函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式,并画出函数y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.
分析:(1)依题意,可知A=2,由T=2π可求ω,y=f (x)的图象经过点(0,
3
),|φ|<
π
2
可求得φ;
(2)令2x+
π
3
取0,
π
2
,π,
2
,2π,得到相应的x的值,列表,描点即可.
解答:解:(1)根据题意,函数y=f (x)=Asin(ωx+φ)中,A=2,T=2π,ω=1.  …(3分)
又函数y=f (x)的图象与y轴交于点(0,
3
),∴2sinφ=
3

由于|φ|<
π
2
,故φ=
π
3

∴f (x)=2sin(x+
π
3
). …(6分)
(2)由题意,得g (x)=3sin(2x+
π
3
).…(8分)
列表如下:
x -
π
6
π
12
π
3
12
6
2x+
π
3
0
π
2
π
2
 3sin(2x+
π
3
0 3 0 -3 0
描点画图如下:
  …(13分)
(其中列表(10分),描点画图13分)
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换与作图能力,属于中档题.
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