Question

2．已知a，b满足log₂a-log${\;}_{\frac{1}{2}}$b=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可得a、b为正数且b=$\frac{2}{a}$，代入化简可得原式=5+$\frac{2}{a}$+2a，由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得a、b为正数且1=log₂a-log${\;}_{\frac{1}{2}}$b=log₂a+log₂b=log₂ab，
∴ab=2，∴b=$\frac{2}{a}$，∴（1+2a）（1+b）=（1+2a）（1+$\frac{2}{a}$）
=1+$\frac{2}{a}$+2a+4=5+$\frac{2}{a}$+2a≥5+2$\sqrt{\frac{2}{a}•2a}$=9
当且仅当$\frac{2}{a}$=2a即a=1且b2时取等号．
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算，属基础题．