Question

（2011•乐山一模）△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinC

．      
（1）求角A；
（2）若函数f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+

1

2

cosx，x∈[A，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件结合正弦定理，余弦定理求出cosA的值，然后求角A；
（2）利用（1）求出函数f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+

1

2

cosx，x∈[A，π]，的表达式，利用二倍角公式以及三角代换，结合x的范围，直接求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinC

，以及正弦定理，
可得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理可知cosA=

1

2

，因为A是三角形内角，所以A=

π

3

．
（2）由（1）可知，f(x)=cos2(x+

π

3

)-sin2(x-

π

3

)+

1

2

cosx，x∈[

π

3

，π]
∴f(x)=cos2(x+

π

3

)-sin2(x-

π

3

)+

1

2

cosx
=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

- 

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

cosx
=-

1

2

cos2x+

1

2

cosx
=-cos²x+

1

2

cosx+

1

2

=-t²+

1

2

t+

1

2

其中t=cosx，∵x∈[

π

3

，π]，
∴cosx∈[-1，

1

2

]．
当t=-1时，f_小（x）=-1，
当t=

1

4

时，f_大（x）=

9

16

，
∴函数f（x）的值域[-1，

9

16

]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值域的求法，考查计算能力．