Question

已知集合A={x|x²+bx+c=0}中两个元素的平方和、乘积分别是5和2，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，C={x|x²-mx+2=0}，且有A∪B=A，A∩C=C，求a，m的取值范围．

Answer 1

分析：由集合A中的两个元素的平方和、乘积分别是5和2，利用根与系数的关系求出两元素，确定出集合A={1，2}，根据A∪B=A，A∩C=C，得到B为A的子集，C为A的子集，
当B为A子集时，分四种情况考虑：（1）当B为空集时，由根的判别式大于0，矛盾，故B不肯能为空集；（2）当B={1}时，由根与系数的关系列出关于a的方程组，求出方程组的解得到a的值；（3）当B={2}时，由根与系数的关系列出关于a的方程组，而此方程组无解，此情况不成立；（4）当B={1，2}，由根与系数的关系列出关于a的方程组，求出方程组的解得到a的值；当C为A子集时，同理也分为四种情况考虑，分别求出m的值及m的范围，综上，得到满足题意a、m的值及范围．

解答：解：集合A={x|x²+bx+c=0}中两个元素是方程x²+bx+c=0的两根，设为x₁，x₂．
由

x12+x22=5 x1•x2=2

，得到A={1，2}，
∵A∪B=A，A∩C=C，
∴B⊆A，C⊆A，
由B⊆A，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，得：
（1）若B=∅，由△=（-a）²-4（a-1）=（a-2）²≥0，得到B=∅不可能；
（2）若B={1}，则有

1×1=a-1 1+1=a

，
解得：a=2；
（3）若B={2}，则有

2×2=a-1 2+2=a

，此时a无解；
（4）若B={1，2}时，则有

1+2=a 1×2=a-1

，
解得：a=3；
同理由C⊆A，C={x|x²-mx+2=0}，得：
（1）当C=∅时，△=m²-8＜0，
解得：-2

2

＜m＜2

2

；
（2）当C={1}或{2}时，由两根之积不为2，舍去；
（3）当C={1，2}时，则

1+2=m 1×2=2

，
解得：m=3，
综上，a=2或a=3，m=3或-2

2

＜m＜2

2

．

点评：此题考查了交集、并集的运算，根的判别式及根与系数的关系，以及集合间的包含关系，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．