Question

（2013•渭南二模）（选做题）在圆内接△ABC中，AB=AC=5

3

，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P，且AQ：QP=1：2，则AP=

15

．

Answer 1

分析：连接BQ，可由∠AQB=∠ABP和∠BAQ=∠PAB，证出△AQB∽△ABP，所以AB²=AP•AQ，再代入题中所给数据，可得AP=15．

解答：解：连接BQ
∵∠ACB与∠AQB同对弧AB，∴∠ACB=∠AQB
又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC
∴∠AQB=∠ABP
∵∠BAQ=∠PAB，
∴△AQB∽△ABP，可得

AQ

AB

=

AB

AP

，即AB²=AP•AQ
∵AB=5

3

，AQ：QP=1：2，
∴（5

3

）²=AP•

1

3

AP，即AP²=225，可得AP=15
故答案为：15

点评：本题给出圆内接等腰三角形和一条被圆分为1：2两部分的割线，要我们求割线的长，着重考查了三角形相似和与圆有关的比例线段等知识，属于中档题．